۳-۱۱: ارتباط بین روش آنالیز هوموتوپی و روش تجزیه آدومین
۱-۳: مقدمه
روش آنالیز هوموتوپی^[۷] در سال ۱۹۹۲ توسط لیائو^۲ معرفی شده است که جهت حل چند معادله دیفرانسیل معمولی، جزئی،و یا انواع دیگر معادلات تابعی مورد استفاده قرار گرفت. به منظور کارایی بیشتر روش آنالیز هوموتوپی اصلاحاتی توسط لیائو و سایر ریاضی­دان­ها انجام شده است تا توانایی روش را برای حل معادلات دیفرانسیل و معادلات تابعی دیگر بیشتر سازد. با معرفی این روش توسط لیائو برتری­های این روش نسبت به روش­های پیشین از جمله آدومین و­ آشفتگی کلاسیک نمایان شد. از مزیت­های این روش قا­بل کنترل بودن ناحیه همگرایی است که مهم­ترین مزیت این روش در مقایسه با دیگر روش­ها است. روش آشفتگی در حل برخی معادلات دیفرانسیل جزئی ناتوان است. زیرا در این روش به یک مقدار اولیه احتیاج داریم. اگر نتوانیم جوابی انتخاب کنیم که شرایط مرزی و اولیه را ارضاء کند­، و یا حتی جواب اولیه انتخابی جوابی متناسب با جواب دقیق مساله نباشد، این روش همگرا نمی­ شود . [۱۵-۸]
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

۳-۲ : فضای توپولوژیک
روش­های­ آنالیز هوموتوپی و آشفتگی هوموتوپی^۳ بر اساس هوموتوپی، که مفهومی در توپولوژی است، تعریف شده ­اند.
برای معرفی این روش­ها ابتدا برخی تعاریف و قضایا را برای مفهوم هوموتوپی بیان می­کنیم.
تعریف :۱-۲-۳
یک توپولوژی روی مجموعه ­ای مانند X عبارت است از خانواده­ای مانند از زیر مجموعه­های X که در شرایط زیر صدق می­ کنند

1. 1. و Xمتعلق به هستند،

1. 1. اجتماع هر تعداد از اعضای ، عضوی از است،

1. 1. اشتراک هر تعداد متناهی از اعضای ، متعلق به است.

۲-۲-۳: تعریف
فرض کنید توپولوژی تعریف شده روی مجموعه Xباشد­. در­ این­صورت زوج مرتب را یک فضای توپولوژیک^[۸] می­نامند.
۳-۲-۳ تعریف
فرض کنید Xیک فضای دلخواه باشد. تابع پیوسته X h:[a,b]را یک مسیر می­نامیم و h(a) و h(b) را به ترتیب ابتدا و انتهای مسیر می­­گویند. ­گویند h این دو نقطه را به هم وصل می­ کند.
۳-۳: هوموتوپی
۱-۳-۳ : تعریف
فرض کنید :[۰,۱]=Iمسیرهایی درباشندکه. در این­صورت را هوموتوپ می­نامند هر­گاه نگاشت پیوسته­ای مانندI F:I وجود داشته باشد به­گونه ­ای که
و
F را یک هوموتوپی بینf و gمی­نامند وf و gرا هوموتوپ می­نامیم و آن را با نماد f g نشان می­دهیم. حال اگر قرار دهیم برای ، در این­صورت
بنابراین خانواده­ای از مسیر­هاست که f را روی g می­نگارد. به صورت معادل _{t∈ I}{ F_t} یک هوموتوپی نامیده می­ شود.
:۲-۳-۳تعریف
فرض کنیددو مسیر ­باشند که . در این­­­صورت ضرب دو مسیر به صورت زیر تعریف می­ شود.
بنابر­این .
۳-۳-۳: تعریف
فرض کنید :نگاشت­های پیوسته­ای باشند. گوییم هوموتوپ است، هر­گاه نگاشت پیوسته­ای مانند
وجود داشته باشد که برای هر متعلق به X ، داشته باشیم
.
۴-۳-۳: لم (لم چسب)
اگر A و Bزیر مجموعه­های بسته­­ای ازX باشند به­قسمی­که ، ، و توابعی پیوسته باشند. در این­صورت اگر برای هر x در A داشته باشیم، . آن­گاه می­توانیم را برای به­دست آوردن نگاشت پیوسته: به­کار گیریم. تابع h با ضابطه زیر پیوسته خواهد بود.
=
۵-۳-۳ : قضیه
هوموتوپی یک رابطه هم ارزی است.
یاد­آوری می­کنیم که یک رابطه را، رابطه هم ارزی گوییم هرگاه بازتابی، متقارن، و متعدی باشد.
برهان:

1. 1. ۱. رابطه بازتابی:

بازتابی بودن هوموتوپی واضح است ( ، زیرا کافی است قرار دهیم که همان هوموتوپی مورد نظر است.

1. 1. ۲. رابطه تقارنی:

فرض کنیم و یک هوموتوپی باشد که را روی می­نگارد. حال قرار می­دهیم