گزاره ۴-۲۴٫ فرض کنید یک زیرگروه-گروه‌وار از حلقه-گروه‌وار باشد. اگر مجموعه‌ی ریخت‌های، یک ایده‌آل چپ از حلقه‌ی مجموعه ریخت‌های باشد، آن‌گاه نیز یک ایده‌آل چپ است.
برهان. فرض کنید و . بنابراین و . چون مجموعه‌ی ریخت‌های یک ایده‌آل چپ از حلقه‌ی می‌باشد، پس . چونیک زیرگروه‌واراست، پس . درنتیجهیک ایده‌آل چپ است.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

همچنین فرض کنیدیک حلقه-گروه‌وار و یک ایده‌آل چپ حلقه-گروه‌وار باشد. همچنین فرض کنید . برای ، جایی‌که و تعریف‌شده باشند، طبق گزاره ۴-۱۳، داریم:
چون مجموعه‌ی ریخت‌های یک ایده‌آل چپ می‌باشند، پس . بنابراین چون یک زیرگروه‌وار است، داریم.■
نتیجه‌ای مشابه گزاره ۴-۲۴، برای ایده‌آل‌های راست نیز برقرار است.
گزاره ۴-۲۵٫ فرض کنید یک حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی باشد و عضو همانی حلقه‌ی باشد. آن‌گاه مجموعه‌ی یک حلقه‌ی توپولوژیکی است.
برهان. فرض کنید . چونهمریختی گروهی است، داریم:
و چون یک ریخت گروه‌واری است داریم ، پس . بنابراین داریم
درنتیجه .
.
همچنین چون همریختی حلقه‌ای است داریم
درنتیجه .
بنابراینیک زیرحلقه از است. همچنینبه عنوان زیرفضایی از دارای توپولوژی زیرفضایی است، بنابراین یک حلقه‌ی توپولوژیکی می‌باشد. ■
تعریف ۴-۲۶٫ فرض کنید یک حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی و یک حلقه‌ی توپولوژیکی باشد. یک عمل توپولوژیکی از حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی روی ، شامل یک ریخت حلقه‌ای توپولوژیکی و یک عمل پیوسته از گروه‌وار توپولوژیکیروی فضای توسط می‌باشد به طوری‌که قوانین جابه‌جایی زیر برقرار باشند:
۱-
۲-
مثال ۴-۲۷٫ فرض کنید یک حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی باشد که روی حلقه‌ی توپولوژیکی توسط عمل می‌کند. نشان می‌دهیم که ضرب‌مستقیم یک حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی با مجموعه اشیاء و مجموعه ریخت‌های می‌باشد. سپس نشان می‌دهیم که نگاشت تصویری
یک ریخت پوششی از حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی است.
نگاشت‌ها را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.
به‌سادگی دیده می‌شود که در ۵ شرط گروه‌وار نیز صادق است.
به عنوان زیرمجموعه‌ای از دارای توپولوژی حاصل‌ضربی می‌باشد.
همچنین به دلیل پیوسته بودن نگاشت‌های شیء، معکوس و ترکیب در و پیوسته بودن عمل گروه‌وار، نگاشت‌های ، ، ،و نیز پیوسته می‌باشند. بنابراین یک گروه‌وار توپولوژیکی است.
حال نشان می‌دهیم یک حلقه‌ی توپولوژیکی است. و هر دو حلقه‌های توپولوژیکی هستند، پس نیز یک حلقه‌ی توپولوژیکی است. حال نشان می‌دهیمیک زیرحلقه از می‌باشد.
برای هر تعریف می‌کنیم
و
همچنین را وارون جمعی در نظر می‌گیریم. چون و هر دو حلقه هستند و و همریختی حلقه‌ای می‌باشند، داریم:
و
از طرفی چون و ، داریم:
بنابراین بامعنا می‌باشد.
چون روی عمل می‌کند وو ، داریم:
درنتیجه
بنابراین .
به طور مشابه ثابت می‌شود که .
بنابراین یک حلقه می‌باشد.
همچنین چون نگاشت‌های ساختار حلقه‌ای تحدید نگاشت‌های ساختار حلقه‌ای می‌باشند، پس پیوسته هستند. در نتیجه یک حلقه‌ی توپولوژیکی است.
حال نشان می‌دهیم نگاشت تصویری
یک ریخت پوششی از حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی است.
با این فرض که با‌معنا باشد و ، داریم:
به طور مشابه داریم:
همچنین برای داریم:
بنابراین چون و پیوسته می‌باشند، پس یک ریخت از گروه‌وارهای توپولوژیکی است.
به‌وضوح دیده می‌شود که
یک نگاشت دوسویی است، بنابراینیک ریخت پوششی از گروه‌وارهای توپولوژیکی است.
همچنین داریم
و
بنابراین چون حافظ ساختار حلقه‌ی توپولوژیکی می‌باشد، پس یک ریخت از حلقه-گروه‌وارهای توپولوژیکی است.